Parallelschaltung Widerstände Berechnung

Adrachin:

Wenn ich 5 Wiederstände mit 50 Ohm parallel verdrahte, was ist der Gesamtwiederstand der Konstruktion?

LiquidGPT:

Wenn mehrere Widerstände parallel geschaltet sind, berechnet sich der Gesamtwiderstand ( R_{\text{ges}} ) nach folgender Formel:

[
\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots + \frac{1}{R_n}
]

In deinem Fall sind alle 5 Widerstände gleich, und jeder hat einen Widerstand von ( 50 , \Omega ). Daher kannst du die Formel vereinfachen:

[
\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{R} \times n
]

Das ergibt:

[
\frac{1}{R_{\text{ges}}} = \frac{1}{50} \times 5 = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}
]

Um den Gesamtwiderstand zu berechnen, nehmen wir den Kehrwert:

[
R_{\text{ges}} = 10 , \Omega
]

Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung beträgt also 10 Ohm.

Adrachin:

An das Konstrukt schliesse ich 230 V Spannung an. Wieviel Strom ergibt das?

LiquidGPT:

Um den Strom zu berechnen, der durch das Konstrukt fließt, verwendest du das Ohmsche Gesetz:

[
I = \frac{U}{R}
]

Dabei ist:

• ( U ) die Spannung (230 V),
• ( R_{\text{ges}} ) der Gesamtwiderstand (10 Ω, wie zuvor berechnet).

Setzen wir die Werte ein:

[
I = \frac{230, \text{V}}{10, \Omega} = 23, \text{A}
]

Der Strom, der durch das Konstrukt fließt, beträgt also 23 Ampere.

Adrachin:

Das Konstrukt soll modifiziert werden damit der Strom 12A nicht übersteigt., Die Wiederstände können aus einer Kombination von Seriell und Parallel verdrahtet werden. Mache einen Vorschlag zu realisierung

LiquidGPT:

Um das Konstrukt so zu modifizieren, dass der Strom 12 A nicht übersteigt, muss der Gesamtwiderstand erhöht werden, da der Strom durch den Gesamtwiderstand gemäß dem Ohmschen Gesetz ( I = \frac{U}{R} ) von der Spannung und dem Widerstand abhängt.

Die Spannung beträgt 230 V, und wir wollen den Strom auf 12 A begrenzen. Der erforderliche Gesamtwiderstand kann mit dem Ohmschen Gesetz ermittelt werden:

[
R_{\text{ges}} = \frac{U}{I} = \frac{230 , \text{V}}{12 , \text{A}} \approx 19,17 , \Omega
]

Das Ziel ist also, einen Gesamtwiderstand von etwa 19,17 Ω zu erreichen.

Vorschlag zur Verdrahtung

Du hast 5 Widerstände mit jeweils 50 Ω. Um den gewünschten Gesamtwiderstand zu erreichen, könnten wir eine Kombination aus serieller und paralleler Schaltung vorschlagen.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

1. Serienschaltung von zwei Widerständen:

   • Wenn zwei Widerstände mit 50 Ω in Serie geschaltet werden, addieren sich die Widerstände:
     [
     R_{\text{serie}} = 50 , \Omega + 50 , \Omega = 100 , \Omega
     ]

2. Parallelschaltung von drei Widerständen:

   • Die restlichen drei Widerstände werden parallel geschaltet. Der Gesamtwiderstand von drei parallel geschalteten 50-Ω-Widerständen ergibt sich wie folgt:
     [
     \frac{1}{R{\text{parallel}}} = \frac{1}{50} + \frac{1}{50} + \frac{1}{50} = \frac{3}{50}
     ]
     [
     R{\text{parallel}} = \frac{50}{3} \approx 16,67 , \Omega
     ]

3. Kombinierter Gesamtwiderstand:

   • Jetzt verbinden wir den Serienschaltungsteil (( R{\text{serie}} = 100 , \Omega )) mit dem parallel geschalteten Teil (( R{\text{parallel}} \approx 16,67 , \Omega )) in einer Parallelschaltung. Der Gesamtwiderstand der beiden Teile ergibt sich durch:
     [
     \frac{1}{R{\text{ges}}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{16,67}
     ]
     [
     \frac{1}{R{\text{ges}}} \approx 0,01 + 0,06 = 0,07
     ]
     [
     R_{\text{ges}} \approx 14,29 , \Omega
     ]

Zweiter Versuch mit vier Widerständen in Serie und Parallel:

Um den Gesamtwiderstand genau auf die benötigten 19,17 Ω zu bringen, müssen wir nochmals anpassen.

Adrachin:

Weniger als 14A währe vorteilhaft. Um die 10A ist völlig ausreichend.

LiquidGPT:

Um einen Gesamtstrom von ungefähr 10 A zu erreichen, müssen wir den Gesamtwiderstand erhöhen. Dafür verwenden wir wieder das Ohmsche Gesetz:

[
R_{\text{ges}} = \frac{U}{I} = \frac{230 , \text{V}}{10 , \text{A}} = 23 , \Omega
]

Vorschlag zur Realisierung:

Um diesen Gesamtwiderstand zu erreichen, können wir eine geschickte Kombination von Serien- und Parallelschaltungen verwenden. Du hast 5 Widerstände mit jeweils 50 Ω, und wir können die Schaltung wie folgt gestalten:

1. Serienschaltung von zwei Widerständen:

Wenn zwei Widerstände mit jeweils 50 Ω in Serie geschaltet werden, addieren sich ihre Widerstände:

[
R_{\text{serie}} = 50 , \Omega + 50 , \Omega = 100 , \Omega
]

2. Parallelschaltung von zwei Widerständen:

Die restlichen drei Widerstände teilen wir so auf, dass zwei von ihnen parallel geschaltet werden. Der Gesamtwiderstand dieser beiden parallel geschalteten Widerstände wird berechnet als:

[
\frac{1}{R{\text{parallel}}} = \frac{1}{50} + \frac{1}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}
]
[
R{\text{parallel}} = 25 , \Omega
]

3. Gesamtkombination:

Nun nehmen wir den seriellen Widerstandsteil (( R{\text{serie}} = 100 , \Omega )) und den parallel geschalteten Teil (( R{\text{parallel}} = 25 , \Omega )) und schalten sie zusammen in einer weiteren Parallelschaltung. Der Gesamtwiderstand dieser Kombination ergibt sich wie folgt:

[
\frac{1}{R{\text{ges}}} = \frac{1}{100} + \frac{1}{25}
]
[
\frac{1}{R{\text{ges}}} = 0,01 + 0,04 = 0,05
]
[
R_{\text{ges}} = 20 , \Omega
]

4. Abschließender Strom:

Mit einem Gesamtwiderstand von 20 Ω und einer Spannung von 230 V ergibt sich der Strom:

[
I = \frac{U}{R_{\text{ges}}} = \frac{230 , \text{V}}{20 , \Omega} = 11,5 , \text{A}
]

Das bedeutet, dass mit dieser Schaltung ein Strom von etwa 11,5 A fließen würde. Dies liegt nahe an deinem Ziel von 10 A und sollte ausreichend sein, um den Strom zu begrenzen.

Adrachin:

Wieviel Strom fliesst bei 100 Ohm Last?

LiquidGPT:

Um den Strom zu berechnen, der bei einer Last von 100 Ω fließt, verwenden wir das Ohmsche Gesetz:

[
I = \frac{U}{R}
]

Dabei ist:

• ( U = 230 , \text{V} ) (die Spannung),
• ( R = 100 , \Omega ) (der Widerstand).

Setzen wir die Werte ein:

[
I = \frac{230 , \text{V}}{100 , \Omega} = 2,3 , \text{A}
]

Es fließt also ein Strom von 2,3 Ampere bei einer Last von 100 Ω.